帕累托最優(Pareto Optimality，Pareto意大利人),也稱為帕累托效率(Pareto efficiency)，是指多參數影響一種理想目標狀態的模型方法。假定固有的一堆參數對某個環境或目標狀態發生影響，在從一種狀態到另一種狀態的變化中，當沒有使任何參數變“壞”的前提下，使得至少一個參數變得更好，這就是帕累托改進或帕累托最優化。如果出現“損人利己”或“損人不利己”或“損他利你”，那么就不是Pareto Optimality。
0、引言
帕累托最優，也稱為帕累托效率，是以意大利經濟學家維爾弗雷多·帕累托命名的概念，它在經濟學、工程學、數學建模以及各種決策科學中占有重要位置。帕累托最優描述了一個狀態，其中不可能在不使至少一個人處境變差的情況下，改善任何人的處境。在數學建模中，這個概念經常與多目標優化問題相關聯。
在數學建模和決策科學中，我們常常面臨這樣的問題：如何在多個競爭目標之間取得平衡？例如，一個公司可能希望最大化利潤的同時，最小化環境影響。這兩個目標通常是相互沖突的——即增加一方的利益可能會損害另一方。在這樣的情境下，帕累托最優提供了一個判斷解決方案是否有效的重要標準。
1、帕累托最優的定義
帕累托最優是一個經濟學概念，它定義了資源分配的一種理想狀態，在這種狀態下，沒有人能夠在不損害其他人的情況下改善自己的福利。換句話說，一個帕累托最優的狀態是指不能通過任何資源的重新分配來使至少一個個體變得更好而不使其他個體變得更差。
數學上，考慮一個系統或模型，它有多個目標函數 ，一個解決方案 被認為是帕累托最優的，如果沒有另一個解決方案 使得所有的目標函數至少有一個得到改善而沒有任何一個變差。
2、帕累托前沿
在多目標優化中，通常不可能找到一個最佳解決方案來同時最大化或最小化所有的目標函數。相反，會有一組帕累托最優解，這些解構成了所謂的“帕累托前沿”或“帕累托邊界”。這個邊界上的任何點都是無法通過改善一個目標而不損害至少一個其他目標的。
3、數學建模中的應用
在數學建模過程中，帕累托最優的概念被用來評估和比較不同的解決方案。通過定義合適的目標函數和約束條件，模型可以被用來找到帕累托前沿。這個過程通常涉及使用優化算法，如線性規劃、多目標遺傳算法或其他啟發式方法。
4、案例分析
考慮一個工廠，其目標是最大化產量 f1(x)= a·x 同時最小化對環境的影響 f2(x) = b·x ，其中 x 是資源使用量， a 和 b 是相應的系數。這兩個目標通常相互矛盾。
為了找到帕累托最優解，我們使用權重法將兩個目標結合成一個單一目標函數：
z(x) = ω1·f1(x) - ω2·f2(x)
通過調整權重 ω1 和 ω2 ，我們找到了一系列帕累托最優解，構成了帕累托前沿。在我們的案例中，這些解集中在資源使用量的極值上。
5、結論
帕累托最優是在多目標決策中實現有效和公平決策的關鍵。它允許決策者在不同目標之間進行權衡，并找到最佳的共存解決方案。盡管它可能無法給出一個完美的答案，但它確保了在現有條件下無法找到更好的共同解決方案。